通过编程来学习线性代数4-行列式按行(列)展开

2018-10-14

余子式：将aij所在的行和列划去后，剩下的元素组成的行列式，记作Mij。(i, j为下标)

代数余子式：Aij = Math.pow(-1, i+j) * Mij

行列式每一项都对应一个余子式和代数余子式，因为i, j可以唯一确定一个元素。

求i行j列的余子式：

/**
  * 余子式
  * 
  * @param {Number} i 行
  * @param {Number} j 列
  */
Det.prototype.complementMinor = function (i, j) {
    let len = this.length
    if (!(i < len && j < len)) {
        throw ('行标或列标超出范围: 0~'+(len-1))
    }
    let detArr = JSON.parse(JSON.stringify(this.array))
    let newArr = []
    for (let k = 0; k < len; k++) {
        if (i != k) {
            let temp = detArr[k]
            temp.splice(j, 1)
            newArr.push(temp)
        }
    }

    return new Det(newArr)
}

line 15~19 如果k等于i就跳过（同一行），如果不是，那就移除该行的第j个元素，并添加到新数组中。最后生成Det对象。

测试：

let det = new Det([
    [1, 1, 2, 1],
    [1, -3, 5, 3],
    [0, 2, 2, 2],
    [1, 2, -4, 4]
])
let c0 = det.complementMinor(0, 0)
// 输出
// [-3, 5, 3]
// [2, 2, 2]
// [2, -4, 4]

let c1 = det.complementMinor(3, 2)
// 输出
// [1, 1, 1]
// [1, -3, 3]
// [0, 2, 2]

引理：一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除aij外都为零，那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即D=aijAij

测试：

let det1 = new Det([
    [1, 3, 2, 5],
    [5, -3, -1, 3],
    [0, 0, -2, 0],
    [-5, 2, 0, 4]
])
det1.calc() //296
let c2 = det1.complementMinor(2, 2)
let a0 = -2 * Math.pow(-1, 2 + 2) * c2.calc() //-2 * (-148)
console.log(a0) //296

这里(2, 2)即3行3列的-2，该行除(2, 2)外其余都为零，根据上面的引理，行列式的值为-2 * 代数余子式

行列式按行（列）展开法则

定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即：

根据性质5，若行列式的某一行（列）的元素都是两个数之和，则可以将其拆分开来：

在Det对象上添加通过代数余子式来计算行列式的值的方法calcViaComplement:

/**
  * 通过代数余子式来计算行列式的值
  * 
  * @param {Number} i 行
  */
Det.prototype.calcViaComplement = function (i=0) {
    let len = this.length
    if (!(i < len)) {
        throw ('行标或列标超出范围: 0~'+(len-1))
    }
    let sum = 0
    for (let k = 0; k < len; k++) {
        let tempDet = this.complementMinor(i, k)
        sum += tempDet.calc() * Math.pow(-1, k + i) * this.array[i][k]
    }

    return sum
}

这里默认以行来计算，默认第0行，可以通过计算不同行来验证：

let det1 = new Det([
    [1, 3, 2, 5],
    [5, -3, -1, 3],
    [0, 0, -2, 0],
    [-5, 2, 0, 4]
])
let res0 = det1.calc()
let res1 = det1.calcViaComplement(0)
let res2 = det1.calcViaComplement(2)

console.log('res0=' + res0) //296
console.log('res1=' + res1) //296
console.log('res2=' + res2) //296

推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

相当于用j行替换掉第i行，此时有两行的对应列元素都相等，根据性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零，其结果为零。

代码

tomfriwel/linearAlgebraPro

参考

线性代数-同济大学(第五版)课件 [完整版]

声明：转载请注明作者及原文链接

数学

行列式按行（列）展开法则

代码

参考